Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Która reguła zachłanna w problemie wyboru zajęć zawsze daje maksymalną liczbę nienakładających się zajęć?

  1. AWybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
  2. BWybierz najpierw najkrótsze zajęcie
  3. CWybierz zajęcie, które zaczyna się najwcześniej
  4. DWybierz najpierw zajęcie z najmniejszą liczbą kolizji, a potem powtarzaj dla zgodnych zajęć
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem jest NP-zupełny, jeśli:

  1. ANależy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
  2. BDa się go rozwiązać w czasie wielomianowym
  3. CLeży poza NP, ale jest trudniejszy od wszystkich problemów NP, jak problem stopu
  4. DNie da się go rozwiązać
3.Struktury danychŚredni

Ile czasu zajmuje sprawdzenie, czy istnieje krawędź (u, v), przy użyciu macierzy sąsiedztwa?

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

  1. AKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
  2. BPosortowana tablica wszystkich n wartości
  3. CKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
  4. DKolejka FIFO ostatnich k wartości
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
8145631142ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 6; sam A to runda 1.

start: Arunda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalność wyboru najwcześniejszego czasu zakończenia można udowodnić argumentem wymiany; dla pozostałych reguł istnieją kontrprzykłady.

Odpowiedź

A · Wybierz zajęcie, które kończy się najwcześniej, i powtórz dla zgodnych z nim
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Problemy NP-zupełne są najtrudniejsze w NP; wielomianowy algorytm dla jednego z nich dałby wielomianowy algorytm dla całej klasy NP.

Odpowiedź

A · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Element macierzy w wierszu u i kolumnie v od razu mówi, czy krawędź istnieje; przy listach sąsiedztwa może być potrzebne przejrzenie sąsiadów u.

Odpowiedź

A · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

C · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: G

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 8
2. B (8): C: 22, D: 13
3. D (13): E: 16, F: 14
4. F (14): E: 15
5. E (15): C: 21, G: 17
6. G (17)
7. C (21)

runda 6

G

Odpowiedź

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms