Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa standardowego algorytmu programowania dynamicznego dla najdłuższego wspólnego podciągu napisów o długościach m i n?

  1. AO(mn)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(2m+n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie topologiczne jest możliwe tylko dla:

  1. AGrafów pełnych
  2. BSkierowanych grafów acyklicznych
  3. CGrafów nieskierowanych
  4. DGrafów z ujemnymi wagami
3.Struktury danychŚredni

Przejście in-order (poprzeczne) binarnego drzewa poszukiwań odwiedza klucze w kolejności:

  1. ARosnącej (posortowanej)
  2. BZawsze malejącej
  3. CPoziomami
  4. DWstawiania
4.Struktury danychTrudny

Czym drzewo radix (skompresowane trie) przewyższa zwykłe trie?

  1. AŁączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
  2. BZachowuje tylko pierwszą literę każdego słowa
  3. CSortuje dzieci każdego węzła według częstości
  4. DPrzechowuje każde słowo w tablicy mieszającej w korzeniu zamiast w osobnych węzłach
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
4413113915410ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(G) najkrótszej ścieżki z A do G w grafie ważonym.

start: Akoniec: G
d(G) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(mn)

Dlaczego to jest odpowiedź

Tablica ma (m + 1)(n + 1) komórek, a każda jest obliczana w O(1) z sąsiednich.

Odpowiedź

A · O(mn)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Skierowanych grafów acyklicznych

Dlaczego to jest odpowiedź

Porządek topologiczny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf skierowany nie ma cykli; można go znaleźć w czasie O(V + E) za pomocą DFS lub algorytmu Kahna.

Odpowiedź

B · Skierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Rosnącej (posortowanej)

Dlaczego to jest odpowiedź

Odwiedzenie lewego poddrzewa, potem węzła, a potem prawego poddrzewa wypisuje klucze BST w kolejności posortowanej.

Odpowiedź

A · Rosnącej (posortowanej)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków

Dlaczego to jest odpowiedź

Zwinięcie ścieżek bez rozgałęzień zmniejsza liczbę węzłów i zużycie pamięci przy zachowaniu wyszukiwania po prefiksie.

Odpowiedź

A · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(G) = 8

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 4
C (4): B: 8, E: 15, G: 8
B (8): D: 21
G (8)
E (15): D: 18, F: 30
D (18): F: 27
F (27)

Najkrótsza ścieżka

A → C → G
d(G) = 8

Odpowiedź

d(G) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms