Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

  1. AWyłącznie losowe dane wejściowe
  2. BŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
  3. CPojedynczą pętlę
  4. DNakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która definicja klasy P jest poprawna?

  1. AProblemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
  2. BProblemy wymagające czasu wykładniczego na każdym komputerze
  3. CProblemy, których rozwiązania można sprawdzić, ale nigdy nie znaleźć w czasie wielomianowym
  4. DProblemy, które można rozwiązać równolegle
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia postorder?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n))
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
678813151210ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

D · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.

Odpowiedź

A · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 4 5 2 3 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Postorder przetwarza 4 i 5 przed 2, potem 3, a na końcu korzeń 1.

Odpowiedź

D · 4 5 2 3 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

C · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 6
2. B (6): C: 13, D: 14, E: 16
3. C (13)
4. D (14): F: 29
5. E (16): F: 28
6. F (28)

runda 4

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms