Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Który algorytm znajduje najkrótsze ścieżki z jednego źródła w grafie o nieujemnych wagach krawędzi?

  1. AAlgorytm Dijkstry
  2. BAlgorytm Kruskala
  3. CPrzeszukiwanie w głąb (DFS)
  4. DWe wszystkich przypadkach wymagany jest algorytm Bellmana–Forda
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  2. B3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  3. COgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
  4. DSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
3.Struktury danychŚredni

Gdzie w kopcu binarnym przechowywanym w tablicy od indeksu 0 znajduje się rodzic węzła o indeksie i?

  1. APod indeksem i − 1
  2. BPod indeksem ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CPod indeksem 2i + 1
  4. DPod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktury danychTrudny

Drzewo przedziałowe (segment tree) służy zwykle do:

  1. AAlfabetycznego sortowania napisów przez przechowywanie każdego prefiksu w osobnym węźle drzewa
  2. BOdpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
  3. CPrzechowywania krawędzi grafu
  4. DImplementacji stosu
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
124151511107ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Algorytm Dijkstry

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Dijkstry działa dla wag nieujemnych; algorytm Bellmana–Forda obsługuje wagi ujemne; algorytm Kruskala buduje minimalne drzewa rozpinające.

Odpowiedź

A · Algorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzieci i znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2, więc rodzic i jest pod ⌊(i − 1) / 2⌋; przy indeksowaniu od 1 jest to ⌊i / 2⌋.

Odpowiedź

D · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo przedziałowe przechowuje agregaty dla przedziałów, obsługując zapytania o zakresy i aktualizacje punktowe w czasie O(log n).

Odpowiedź

B · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 1, C: 2
2. B (1): D: 16
3. C (2): E: 17
4. D (16): F: 26
5. E (17): F: 24
6. F (24)

runda 4

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms