Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co mierzy analiza zamortyzowana?

  1. AKoszt pojedynczej najdroższej operacji w dowolnym miejscu ciągu
  2. BŚredni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji
  3. COczekiwany koszt dla losowych danych wejściowych
  4. DKoszt algorytmu dla najlepszych danych
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest zamortyzowany koszt inkrementacji licznika binarnego, skoro jedna inkrementacja może zmienić wiele bitów?

  1. AO(n) na inkrementację
  2. BO(n log n) na inkrementację
  3. CO(1) na inkrementację
  4. DO(log n) na inkrementację
3.Struktury danychŚredni

Ile trwa wyszukiwanie słowa o długości L w drzewie trie ze stałym alfabetem?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), gdzie n to liczba słów
  3. CO(n), gdzie n to liczba słów
  4. DO(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest koszt czasowy i dodatkowy pamięciowy odwrócenia listy jednokierunkowej w miejscu?

  1. ACzas O(1) i dodatkowa pamięć O(1)
  2. BCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(n)
  3. CCzas O(n log n) i dodatkowa pamięć O(1)
  4. DCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 29. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.Teoria grafówTrudny
1511191712141310ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Średni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji

Dlaczego to jest odpowiedź

Analiza zamortyzowana rozkłada koszt rzadkich drogich operacji na wiele tanich, dając gwarantowaną średnią dla dowolnego ciągu operacji.

Odpowiedź

B · Średni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(1) na inkrementację

Dlaczego to jest odpowiedź

W ciągu n inkrementacji bit i zmienia się około n / 2ⁱ razy, więc łącznie jest mniej niż 2n zmian, średnio O(1) na inkrementację.

Odpowiedź

C · O(1) na inkrementację
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy znak wybiera jedno dziecko, więc wyszukiwanie zajmuje L kroków niezależnie od tego, ile słów zawiera trie.

Odpowiedź

D · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Utrzymywanie trzech wskaźników (poprzedni, bieżący, następny) pozwala odwrócić każde połączenie w jednym przebiegu bez alokowania nowych węzłów.

Odpowiedź

D · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 29 − 17 = 12

Odpowiedź

k = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 63

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (1): weź
DE (9): weź
GE (10): weź
CE (11): weź
GB (12): pomiń, zamyka cykl
GD (13): pomiń, zamyka cykl
GC (14): pomiń, zamyka cykl
AC (15): weź
DF (17): weź

Łączna waga

W = 1 + 9 + 10 + 11 + 15 + 17 = 63

Odpowiedź

W = 63

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms