Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem jest NP-zupełny, jeśli:

  1. ALeży poza NP, ale jest trudniejszy od wszystkich problemów NP, jak problem stopu
  2. BNie da się go rozwiązać
  3. CDa się go rozwiązać w czasie wielomianowym
  4. DNależy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Przejście in-order (poprzeczne) binarnego drzewa poszukiwań odwiedza klucze w kolejności:

  1. AWstawiania
  2. BRosnącej (posortowanej)
  3. CPoziomami
  4. DZawsze malejącej
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego w tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym usuwanie wykonuje się często za pomocą znacznika „nagrobka” (tombstone)?

  1. ANagrobki przyspieszają haszowanie
  2. BOpróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
  3. CDzięki temu tablica staje się posortowana
  4. DUsunięte klucze muszą być przechowywane na zawsze ze względów bezpieczeństwa, więc miejsc nigdy nie można użyć ponownie
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
381311129512ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

C · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Problemy NP-zupełne są najtrudniejsze w NP; wielomianowy algorytm dla jednego z nich dałby wielomianowy algorytm dla całej klasy NP.

Odpowiedź

D · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Rosnącej (posortowanej)

Dlaczego to jest odpowiedź

Odwiedzenie lewego poddrzewa, potem węzła, a potem prawego poddrzewa wypisuje klucze BST w kolejności posortowanej.

Odpowiedź

B · Rosnącej (posortowanej)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby usunięte miejsce stało się puste, późniejsze wyszukiwania mogłyby zatrzymać się za wcześnie i pominąć klucze umieszczone dalej w łańcuchu sondowania.

Odpowiedź

B · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 20

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): D: 14, E: 15
C (8)
D (14): F: 23
E (15): F: 20
F (20)

Najkrótsza ścieżka

A → B → E → F
d(F) = 20

Odpowiedź

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms