Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co mierzy analiza zamortyzowana?

  1. AKoszt algorytmu dla najlepszych danych
  2. BKoszt pojedynczej najdroższej operacji w dowolnym miejscu ciągu
  3. CŚredni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji
  4. DOczekiwany koszt dla losowych danych wejściowych
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. AKlucze muszą być najpierw posortowane
  2. BDostęp do tablic ma złożoność O(n)
  3. CFunkcje skrótu są wolne
  4. DWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa działający program do śledzenia aktywnych wywołań funkcji i ich zmiennych lokalnych?

  1. AStosu wywołań
  2. BKolejki pamięci sterty
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań ramek
  4. DTablicy mieszającej funkcji
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. AStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
  2. BTablica mieszająca wszystkich elementów
  3. CBinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  4. DKolejka przechowująca każdą parę elementów
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
51074113861ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Średni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji

Dlaczego to jest odpowiedź

Analiza zamortyzowana rozkłada koszt rzadkich drogich operacji na wiele tanich, dając gwarantowaną średnią dla dowolnego ciągu operacji.

Odpowiedź

C · Średni koszt na operację w pesymistycznym ciągu operacji
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

D · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Stosu wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde wywołanie odkłada ramkę stosu, a każdy powrót ją zdejmuje, dlatego najpóźniejsze wywołanie kończy się jako pierwsze.

Odpowiedź

A · Stosu wywołań
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

A · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

Odpowiedź

L = 6

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 12

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 5, C: 10
B (5): D: 9, E: 6
E (6): C: 7, F: 12
C (7)
D (9)
F (12)

Najkrótsza ścieżka

A → B → E → F
d(F) = 12

Odpowiedź

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms