Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Algorytm zachłanny:

  1. AUżywa wyłącznie rekurencji
  2. BSprawdza każde możliwe rozwiązanie
  3. CW każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
  4. DZawsze daje rozwiązanie optymalne
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. An! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  2. Bn! jest O(n²)
  3. CRosną w tym samym tempie
  4. D2ⁿ rośnie szybciej niż n!
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 4
  2. BPod indeksem 3
  3. CPod indeksem 0
  4. DPod indeksem 6
4.Struktury danychTrudny

Filtr Blooma potrafi odpowiedzieć na pytanie „czy ten element należy do zbioru?”:

  1. AZ możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
  2. BZawsze dokładnie
  3. CTylko dla liczb
  4. DZ możliwymi fałszywie ujemnymi wynikami, ale bez fałszywie dodatnich
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
1411121461174ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 3; sam A to runda 1.

start: Arunda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytmy zachłanne są szybkie i dla niektórych problemów optymalne (np. algorytm Dijkstry, kodowanie Huffmana), ale nie w ogólności (np. wydawanie reszty przy niektórych systemach monet).

Odpowiedź

C · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

A · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli którykolwiek bit dla elementu jest równy 0, elementu na pewno nie ma; jeśli wszystkie są równe 1, element prawdopodobnie jest. Filtry Blooma poświęcają dokładność na rzecz bardzo małego zużycia pamięci.

Odpowiedź

A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 18

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Odpowiedź

L = 18

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: B

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 14, C: 11
2. C (11)
3. B (14): D: 28, E: 18
4. E (18): D: 24, F: 25
5. D (24)
6. F (25)

runda 3

B

Odpowiedź

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms