Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Funkcja wykonuje jedną pętlę n iteracji, a potem osobno drugą pętlę n iteracji. Jaka jest jej złożoność czasowa?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest koszt czasowy i pamięciowy obliczania n-tej liczby Fibonacciego pętlą, która przechowuje tylko dwie ostatnie wartości?

  1. ACzas O(n) i pamięć O(n)
  2. BCzas O(2ⁿ) i pamięć O(1)
  3. CCzas O(log n) i pamięć O(n)
  4. DCzas O(n) i pamięć O(1)
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego kopiec binarny można przechowywać w tablicy bez żadnych wskaźników?

  1. AJest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
  2. BKopce nigdy nie zawierają więcej niż 100 elementów
  3. CTablice automatycznie utrzymują klucze w kolejności posortowanej, więc wskaźniki nie są potrzebne
  4. DWszystkie klucze w kopcu są równe
4.Struktury danychTrudny

Usunięcie węzła z dwojgiem dzieci z binarnego drzewa poszukiwań wykonuje się zwykle przez:

  1. AUsunięcie całego poddrzewa
  2. BZastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
  3. CZbudowanie od nowa poddrzewa poniżej węzła i ponowne wstawienie wszystkich zawartych w nim kluczy
  4. DZamianę go z korzeniem
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 25. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Teoria grafówTrudny
11914134315414714ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

n + n = 2n, a stałe czynniki się pomija, więc funkcja jest O(n).

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Czas O(n) i pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy krok wymaga tylko dwóch poprzednich wartości, więc tablicę metody wstępującej można zastąpić dwiema zmiennymi.

Odpowiedź

D · Czas O(n) i pamięć O(1)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zupełność oznacza brak luk, więc dzieci indeksu i zawsze znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2.

Odpowiedź

A · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

Dlaczego to jest odpowiedź

Następnik in-order ma co najwyżej jedno dziecko, więc można go łatwo usunąć po skopiowaniu jego klucza do usuwanego węzła.

Odpowiedź

B · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 25 − 17 = 8

Odpowiedź

k = 8
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 17

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 13, G: 23
B (11): D: 24
E (13): D: 16, F: 17
D (16)
F (17)
G (23)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 17

Odpowiedź

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms