Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AProblem można rozwiązać w czasie stałym
  2. BKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
  3. COptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  4. DProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które ograniczenie jest poprawne dla log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego przechodzenie tablicy jest w praktyce często znacznie szybsze niż przechodzenie listy wiązanej o tej samej długości?

  1. APrzejście tablicy ma łącznie złożoność O(1), a listy wiązanej O(n)
  2. BListy wiązane zawsze przechowują elementy na dysku
  3. CElementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
  4. DTablice wymagają mniej instrukcji do porównania wartości
4.Struktury danychTrudny

Klucze 5, 3, 8, 1 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego kopca minimalnego opartego na tablicy. Jak wygląda końcowa tablica?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
167135314819201710ABCDEFG

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka B. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5.

start: Bk = 5
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź DF
  8. 8krawędź EF
  9. 9krawędź GB
  10. 10krawędź GD
  11. 11krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Θ(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

log(n!) ≤ n log n, a n / 2 największych czynników daje log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); dlatego sortowanie przez porównania wymaga Ω(n log n).

Odpowiedź

D · Θ(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora

Dlaczego to jest odpowiedź

Ciągła pamięć zapewnia dobrą lokalność odwołań, a połączone węzły mogą być rozproszone i powodować wiele chybień w pamięci podręcznej.

Odpowiedź

C · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · [1, 3, 8, 5]

Dlaczego to jest odpowiedź

Po 5, 3, 8 tablica to [3, 5, 8]; 1 trafia pod indeks 3, zamienia się z rodzicem 5, a potem z 3, co daje [1, 3, 8, 5].

Odpowiedź

C · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

B, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź AC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. BD (5)
2. DF (8)
3. BC (13)
4. CE (3)
5. AC (7)
6. GE (10)

numer krawędzi 5

AC

Odpowiedź

krawędź AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms