Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego każde wyszukiwanie oparte na porównaniach w posortowanej tablicy wymaga w najgorszym przypadku Ω(log n) porównań?

  1. AKażdy element musi być porównany co najmniej raz
  2. BDrzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
  3. CWyszukiwanie binarne jest jedynym możliwym algorytmem i wymaga log₂ n porównań
  4. DKażde porównanie zajmuje czas logarytmiczny
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa przeszukiwanie w głąb (DFS) w wersji iteracyjnej?

  1. AKolejki
  2. BStosu
  3. CWyłącznie tablicy mieszającej
  4. DKopca
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego w tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym usuwanie wykonuje się często za pomocą znacznika „nagrobka” (tombstone)?

  1. ANagrobki przyspieszają haszowanie
  2. BOpróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
  3. CDzięki temu tablica staje się posortowana
  4. DUsunięte klucze muszą być przechowywane na zawsze ze względów bezpieczeństwa, więc miejsc nigdy nie można użyć ponownie
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
102154211113ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej nlog₂ 2 = n dominuje nad stałą pracą, więc T(n) = Θ(n), jak przy szukaniu maksimum przez dzielenie na połowy.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde porównanie co najwyżej o połowę zmniejsza zbiór pozostałych możliwości, więc rozróżnienie n pozycji wymaga co najmniej log₂ n porównań.

Odpowiedź

B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

DFS schodzi jak najgłębiej, naturalnie korzystając ze stosu (lub stosu wywołań rekurencji); BFS używa kolejki.

Odpowiedź

B · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby usunięte miejsce stało się puste, późniejsze wyszukiwania mogłyby zatrzymać się za wcześnie i pominąć klucze umieszczone dalej w łańcuchu sondowania.

Odpowiedź

B · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, D → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 17

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 10
C (10): B: 12, E: 14
B (12): D: 27
E (14): D: 16, F: 25
D (16): F: 17
F (17)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → D → F
d(F) = 17

Odpowiedź

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms