Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. AProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  2. BSortowanie przez scalanie już jest O(n)
  3. CSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
  4. DJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które ograniczenie jest poprawne dla log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Struktury danychŚredni

Sieć drogowa ma 100 000 skrzyżowań, z których każde łączy się z około 4 innymi. Która reprezentacja jest najodpowiedniejsza?

  1. AMacierz sąsiedztwa
  2. BListy sąsiedztwa
  3. CJedna posortowana tablica wierzchołków
  4. DKopiec binarny krawędzi
4.Struktury danychTrudny

Która struktura pozwala obliczyć maksimum każdego okna o rozmiarze k w tablicy w łącznym czasie O(n)?

  1. APosortowana tablica aktualizowana przez przesuwanie
  2. BLista jednokierunkowa elementów okna
  3. CKopiec minimalny budowany od nowa dla każdego okna
  4. DDeque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 19, liczba krawędzi 25. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 19|E| = 25
k =
6.Teoria grafówTrudny
11141113171010ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

log(n!) ≤ n log n, a n / 2 największych czynników daje log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); dlatego sortowanie przez porównania wymaga Ω(n log n).

Odpowiedź

B · Θ(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Listy sąsiedztwa

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz wymagałaby 1010 komórek, prawie wszystkich pustych; listy sąsiedztwa przechowują tylko około 400 000 wpisów krawędzi.

Odpowiedź

B · Listy sąsiedztwa
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości

Dlaczego to jest odpowiedź

Początek deque jest zawsze maksimum okna; każdy indeks raz do niej wchodzi i raz z niej wychodzi, więc praca jest liniowa.

Odpowiedź

D · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 7

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

19 − 1 = 18

Krawędzie do usunięcia

k = 25 − 18 = 7

Odpowiedź

k = 7
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 25

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 11, C: 14
B (11): D: 24, E: 21
C (14): E: 15
E (15): F: 25
D (24)
F (25)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 25

Odpowiedź

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms