Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Które stwierdzenie o funkcji rekurencyjnej bez osiągalnego przypadku bazowego jest poprawne?

  1. ADziała w czasie O(1)
  2. BKompilator zawsze zamienia ją na pętlę, która kończy się bezpiecznie
  3. CAutomatycznie zwraca 0
  4. DWywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  2. B2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  3. CSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
  4. DOgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
3.Struktury danychŚredni

Przejście in-order (poprzeczne) binarnego drzewa poszukiwań odwiedza klucze w kolejności:

  1. AWstawiania
  2. BRosnącej (posortowanej)
  3. CZawsze malejącej
  4. DPoziomami
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. ANic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  2. BWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
  3. CMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
  4. DMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 16, liczba krawędzi 23. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 16|E| = 23
k =
6.Teoria grafówTrudny
11141563111139ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Bez przypadku bazowego rekurencja nigdy się nie kończy; w praktyce brakuje pamięci na ramki stosu i program się zawiesza.

Odpowiedź

D · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

B · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Rosnącej (posortowanej)

Dlaczego to jest odpowiedź

Odwiedzenie lewego poddrzewa, potem węzła, a potem prawego poddrzewa wypisuje klucze BST w kolejności posortowanej.

Odpowiedź

B · Rosnącej (posortowanej)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

16 − 1 = 15

Krawędzie do usunięcia

k = 23 − 15 = 8

Odpowiedź

k = 8
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 31

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 11, C: 14
B (11)
C (14): E: 29, G: 15
G (15): D: 28, E: 24
E (24): F: 35
D (28): F: 31
F (31)

Najkrótsza ścieżka

A → C → G → D → F
d(F) = 31

Odpowiedź

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms