Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

ANakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
BŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
CPojedynczą pętlę
DWyłącznie losowe dane wejściowe

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Wzięcie obu końców każdej krawędzi w skojarzeniu maksymalnym (w sensie zawierania) daje pokrycie wierzchołkowe. Jak dobre jest to pokrycie?

ANajwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe
BNajwyżej log n razy większe niż minimum
CZawsze jest minimalnym pokryciem wierzchołkowym
DO nieznanej jakości w porównaniu z optimum

3.Struktury danychŚredni

Jak wstawia się nowy element do kopca binarnego?

ABuduje się cały kopiec od nowa
BUmieszcza się go w korzeniu i przesuwa w dół
CWstawia się go na właściwą posortowaną pozycję, przesuwając o jedno miejsce w prawo wszystkie większe elementy
DUmieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

ASortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
BZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
CWstawianie elementów na dowolnej pozycji
DZnajdowanie mediany w O(1)

5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 10. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 10

k =

6.Teoria grafówTrudny

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F

d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

A · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Najwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe

Dlaczego to jest odpowiedź

Krawędzie skojarzenia nie mają wspólnych wierzchołków, więc optimum potrzebuje co najmniej jednego wierzchołka na krawędź, a ta metoda bierze dwa: to 2-aproksymacja.

Odpowiedź

A · Najwyżej dwa razy większe niż minimalne pokrycie wierzchołkowe

3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

Dlaczego to jest odpowiedź

Dodanie na końcu zachowuje zupełność drzewa; zamiany z rodzicem przywracają porządek w O(log n) krokach.

Odpowiedź

D · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

B · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 4

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 10 − 6 = 4

Odpowiedź

k = 4

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 11

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 9, C: 3

C (3): B: 4, E: 10

B (4): D: 13

E (10): F: 11

F (11)

D (13)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F

d(F) = 11

Odpowiedź

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms