Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ANie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
  2. BTak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
  3. CTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
  4. DNie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. An! jest O(n²)
  2. B2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  3. Cn! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  4. DRosną w tym samym tempie
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmują listy sąsiedztwa dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego w tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym usuwanie wykonuje się często za pomocą znacznika „nagrobka” (tombstone)?

  1. AOpróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
  2. BNagrobki przyspieszają haszowanie
  3. CDzięki temu tablica staje się posortowana
  4. DUsunięte klucze muszą być przechowywane na zawsze ze względów bezpieczeństwa, więc miejsc nigdy nie można użyć ponownie
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 8, liczba krawędzi 17. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 8|E| = 17
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

B · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

C · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(V + E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy wierzchołek ma listę, a każda krawędź pojawia się raz (graf skierowany) lub dwa razy (nieskierowany), co daje O(V + E).

Odpowiedź

D · O(V + E)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby usunięte miejsce stało się puste, późniejsze wyszukiwania mogłyby zatrzymać się za wcześnie i pominąć klucze umieszczone dalej w łańcuchu sondowania.

Odpowiedź

A · Opróżnienie miejsca mogłoby przerwać sekwencję sondowania dla innych kluczy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 10

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

8 − 1 = 7

Krawędzie do usunięcia

k = 17 − 7 = 10

Odpowiedź

k = 10
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms