Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło n / 2
  2. BOkoło log₂ n
  3. COkoło n
  4. DOkoło √n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. AWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
  2. BFunkcje skrótu są wolne
  3. CKlucze muszą być najpierw posortowane
  4. DDostęp do tablic ma złożoność O(n)
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 3
  2. BPod indeksem 6
  3. CPod indeksem 4
  4. DPod indeksem 0
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. ATablica mieszająca wszystkich elementów
  2. BKolejka przechowująca każdą parę elementów
  3. CBinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  4. DStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 11. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 11
k =
6.Teoria grafówTrudny
1714968131141619ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź CE
  4. 4krawędź DE
  5. 5krawędź DF
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GC
  9. 9krawędź GD
  10. 10krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

B · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

A · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

C · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

D · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 5

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 11 − 6 = 5

Odpowiedź

k = 5
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź GB

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. GC (4)
2. DE (6)
3. DF (8)
4. CE (9)
5. GB (11)
6. AC (17)

numer krawędzi 5

GB

Odpowiedź

krawędź GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms