Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. AFunkcje skrótu są wolne
  2. BKlucze muszą być najpierw posortowane
  3. CWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
  4. DDostęp do tablic ma złożoność O(n)
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(1), bo indeks jest znany
  2. BO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  3. CO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
  4. DO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
4.Struktury danychTrudny

Drzewo przedziałowe (segment tree) służy zwykle do:

  1. APrzechowywania krawędzi grafu
  2. BImplementacji stosu
  3. COdpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
  4. DAlfabetycznego sortowania napisów przez przechowywanie każdego prefiksu w osobnym węźle drzewa
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 6, liczba krawędzi 7. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 6|E| = 7
k =
6.Teoria grafówTrudny
201391812345ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

C · O(n³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

C · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo przedziałowe przechowuje agregaty dla przedziałów, obsługując zapytania o zakresy i aktualizacje punktowe w czasie O(log n).

Odpowiedź

C · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 2

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

6 − 1 = 5

Krawędzie do usunięcia

k = 7 − 5 = 2

Odpowiedź

k = 2
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 45

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DF (3): weź
EF (4): weź
BE (5): weź
BD (9): pomiń, zamyka cykl
DE (12): pomiń, zamyka cykl
BC (13): weź
CE (18): pomiń, zamyka cykl
AC (20): weź

Łączna waga

W = 3 + 4 + 5 + 13 + 20 = 45

Odpowiedź

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms