Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego wiele bibliotecznych procedur sortowania przełącza się na sortowanie przez wstawianie dla bardzo małych podtablic?

  1. ASortowanie przez wstawianie zużywa mniej pamięci niż każdy inny algorytm sortowania dla dużych danych
  2. BSortowanie przez wstawianie jest O(n log n) w najgorszym przypadku
  3. CAlgorytmy rekurencyjne nie radzą sobie z tablicami poniżej 10 elementów
  4. DSortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem stopu pokazuje, że:

  1. ANależy unikać pętli
  2. BNiektóre programy działają szybciej na szybszych komputerach, więc zatrzymanie zależy od sprzętu
  3. CŻaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
  4. DKażdy program w końcu się zatrzymuje
3.Struktury danychŚredni

Jak działa extract-min w binarnym kopcu minimalnym?

  1. APrzenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
  2. BUsuwa się ostatni element tablicy
  3. CPrzeszukuje się wszystkie liście w poszukiwaniu nowego minimum
  4. DUsuwa się korzeń i przesuwa wszystkie elementy o jedno miejsce w lewo
4.Struktury danychTrudny

Która struktura danych umożliwia pamięć podręczną LRU (least recently used) z operacjami get i put w O(1)?

  1. AMapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
  2. BWyłącznie binarne drzewo poszukiwań
  3. CPojedyncza posortowana tablica
  4. DWyłącznie stos
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
12743126311ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla małych n prosta pętla sortowania przez wstawianie jest szybsza niż narzut rekurencji quicksorta czy sortowania przez scalanie, choć jest O(n²).

Odpowiedź

D · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma

Dlaczego to jest odpowiedź

Turing wykazał, że problem stopu jest nierozstrzygalny: założenie, że istnieje rozstrzygający go algorytm, prowadzi do sprzeczności z programem, który robi coś przeciwnego.

Odpowiedź

C · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół

Dlaczego to jest odpowiedź

Ostatni element wypełnia lukę w korzeniu i jest zamieniany z mniejszym dzieckiem, dopóki nie zostanie spełniona własność kopca, co zajmuje O(log n).

Odpowiedź

A · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową

Dlaczego to jest odpowiedź

Mapa mieszająca znajduje węzły w O(1), a lista dwukierunkowa przenosi używane elementy na początek i usuwa elementy z końca w O(1).

Odpowiedź

A · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 12, C: 7
2. C (7): B: 11
3. B (11): D: 14, E: 22
4. D (14): F: 20
5. F (20)
6. E (22)

runda 4

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms