Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

W posortowanej tablicy szukasz dwóch elementów o sumie równej celowi, przesuwając po jednym wskaźniku z każdego końca do środka. Jaka jest złożoność czasowa?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Mnożenie Karacuby spełnia T(n) = 3T(n/2) + O(n). Jakie jest rozwiązanie?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(nlog₂ 3), około n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Struktury danychŚredni

Którego abstrakcyjnego typu danych używa algorytm Dijkstry do wyboru następnego wierzchołka do przetworzenia?

  1. AZbioru bez uporządkowania
  2. BKolejki priorytetowej typu min
  3. CStosu
  4. DKolejki FIFO
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest koszt czasowy i dodatkowy pamięciowy odwrócenia listy jednokierunkowej w miejscu?

  1. ACzas O(n log n) i dodatkowa pamięć O(1)
  2. BCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
  3. CCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(n)
  4. DCzas O(1) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1481851151773ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 4
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DF
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GD
  9. 9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy suma jest za mała, lewy wskaźnik przesuwa się w prawo, gdy za duża, prawy w lewo, więc kroków jest najwyżej n.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej dominują liście, co pokonuje szkolną metodę O(n²).

Odpowiedź

B · Θ(nlog₂ 3), około n1,585
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Kolejki priorytetowej typu min

Dlaczego to jest odpowiedź

Kolejka priorytetowa typu min, zwykle kopiec binarny, wydajnie zwraca nieodwiedzony wierzchołek o najmniejszej odległości.

Odpowiedź

B · Kolejki priorytetowej typu min
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Utrzymywanie trzech wskaźników (poprzedni, bieżący, następny) pozwala odwrócić każde połączenie w jednym przebiegu bez alokowania nowych węzłów.

Odpowiedź

B · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź GD

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DF (1)
2. GE (3)
3. CE (5)
4. GD (7)
5. AC (8)
6. AB (14)

numer krawędzi 4

GD

Odpowiedź

krawędź GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms