Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. ADostęp do tablic ma złożoność O(n)
  2. BWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
  3. CKlucze muszą być najpierw posortowane
  4. DFunkcje skrótu są wolne
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Struktury danychTrudny

Wstawienie klucza do drzewa AVL sprawia, że lewe poddrzewo pewnego węzła staje się zbyt wysokie, a nowy klucz trafił do lewego poddrzewa jego lewego dziecka (przypadek lewo-lewo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. APrzekolorowanie węzła i jego dziecka
  2. BPojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
  3. CPojedynczą rotację w lewo w niezrównoważonym węźle
  4. DRotację w lewo w dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
420196516141513178ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

B · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

A · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

W przypadku lewo-lewo jedna rotacja w prawo podnosi lewe dziecko i przywraca zrównoważenie; przypadki zygzakowate wymagają podwójnej rotacji.

Odpowiedź

B · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 18

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

Odpowiedź

L = 18

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 38

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (1): weź
AB (4): weź
DE (5): weź
CE (6): weź
GE (8): weź
BD (9): pomiń, zamyka cykl
GC (13): pomiń, zamyka cykl
EF (14): weź

Łączna waga

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 8 + 14 = 38

Odpowiedź

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms