Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Sortujesz raz tablicę n elementów, a potem odpowiadasz na k zapytań o przynależność za pomocą wyszukiwania binarnego. Jaki jest łączny koszt?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest koszt czasowy i pamięciowy obliczania n-tej liczby Fibonacciego pętlą, która przechowuje tylko dwie ostatnie wartości?

  1. ACzas O(log n) i pamięć O(n)
  2. BCzas O(n) i pamięć O(n)
  3. CCzas O(2ⁿ) i pamięć O(1)
  4. DCzas O(n) i pamięć O(1)
3.Struktury danychŚredni

Która metoda rozwiązywania kolizji przechowuje kolidujące klucze w liście w tym samym kubełku?

  1. AHaszowanie podwójne
  2. BSondowanie kwadratowe
  3. CSondowanie liniowe
  4. DŁańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danychTrudny

Który problem próbkowania liniowego zmniejsza przede wszystkim haszowanie podwójne?

  1. AGrupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji
  2. BPotrzebę przechowywania kluczy w tablicy
  3. CPotrzebę funkcji mieszającej
  4. DKoszt O(n) odczytu wartości klucza
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 2 z B do A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n log n + k log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Sortowanie kosztuje O(n log n), a każde zapytanie O(log n); przy dużym k jest to lepsze niż k przeszukań liniowych (O(nk)).

Odpowiedź

C · O(n log n + k log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Czas O(n) i pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy krok wymaga tylko dwóch poprzednich wartości, więc tablicę metody wstępującej można zastąpić dwiema zmiennymi.

Odpowiedź

D · Czas O(n) i pamięć O(1)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Łańcuchowanie (separate chaining)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łańcuchowanie utrzymuje listę wiązaną (lub inną strukturę) dla każdego kubełka; adresowanie otwarte szuka innego wolnego miejsca w samej tablicy.

Odpowiedź

D · Łańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Grupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji

Dlaczego to jest odpowiedź

Próbkowanie liniowe przesuwa się o 1, więc ciągi zajętych pozycji rosną i się łączą; haszowanie podwójne używa drugiej funkcji mieszającej do wyznaczenia kroku, więc różne klucze sprawdzają różne sekwencje.

Odpowiedź

A · Grupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, D, F, G → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms