Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa mnożenia dwóch macierzy n × n standardową potrójną pętlą?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

  1. AZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
  2. BZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
  3. CWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych
  4. DWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(1), bo indeks jest znany
  2. BO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  3. CO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
  4. DO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. ABinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  2. BStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
  3. CTablica mieszająca wszystkich elementów
  4. DKolejka przechowująca każdą parę elementów
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teoria grafówTrudny
3214713291154ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n² elementów, a każdy wymaga n mnożeń, co daje n³ operacji.

Odpowiedź

C · O(n³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

A · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

B · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 13

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

Odpowiedź

L = 13

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 19

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 3, C: 2
C (2): E: 15
B (3): D: 10
D (10): E: 12, F: 19, G: 15
E (12)
G (15)
F (19)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 19

Odpowiedź

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms