Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego wiele bibliotecznych procedur sortowania przełącza się na sortowanie przez wstawianie dla bardzo małych podtablic?

  1. ASortowanie przez wstawianie jest O(n log n) w najgorszym przypadku
  2. BSortowanie przez wstawianie zużywa mniej pamięci niż każdy inny algorytm sortowania dla dużych danych
  3. CAlgorytmy rekurencyjne nie radzą sobie z tablicami poniżej 10 elementów
  4. DSortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
  2. BNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  3. CJest nierozstrzygalny
  4. DWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 3
  2. BPod indeksem 6
  3. CPod indeksem 0
  4. DPod indeksem 4
4.Struktury danychTrudny

Które stwierdzenie o sortowaniu przez kopcowanie (heapsort) jest poprawne?

  1. AWymaga binarnego drzewa poszukiwań jako dodatkowej pamięci, więc zużywa O(n) pamięci dodatkowej
  2. BJest stabilne i wymaga O(n) dodatkowej pamięci
  3. CSortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
  4. DDziała w czasie O(n) dla każdych danych wejściowych
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w D? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla małych n prosta pętla sortowania przez wstawianie jest szybsza niż narzut rekurencji quicksorta czy sortowania przez scalanie, choć jest O(n²).

Odpowiedź

D · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

A · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

D · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne

Dlaczego to jest odpowiedź

Heapsort buduje kopiec maksymalny i n razy wyciąga maksimum w obrębie tej samej tablicy; zamiany na duże odległości mogą zmienić kolejność równych kluczy.

Odpowiedź

C · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Wierzchołki nieparzyste

E, G → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 4

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 3·0 + 2·1 + 1·1 = 4

Odpowiedź

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms