Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaki jest czas działania sortowania pozycyjnego LSD (radix sort) dla n liczb całkowitych o d cyfrach w systemie o podstawie k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AJest nierozstrzygalny
  2. BNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  3. CWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
  4. DWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

  1. ATylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
  2. BNajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce
  3. CIstniejące klucze są sortowane w miejscu
  4. DAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danychTrudny

Drzewo przedziałowe (segment tree) służy zwykle do:

  1. AOdpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
  2. BImplementacji stosu
  3. CAlfabetycznego sortowania napisów przez przechowywanie każdego prefiksu w osobnym węźle drzewa
  4. DPrzechowywania krawędzi grafu
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów o długości 2 z D do E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(d(n + k))

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z d przebiegów to sortowanie przez zliczanie kosztujące O(n + k), więc dla stałych d i k całość jest liniowa względem n.

Odpowiedź

B · O(d(n + k))
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

C · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

D · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo przedziałowe przechowuje agregaty dla przedziałów, obsługując zapytania o zakresy i aktualizacje punktowe w czasie O(log n).

Odpowiedź

A · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 9

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Odpowiedź

L = 9

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms