Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ANie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
  2. BNie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
  3. CTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
  4. DTak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który algorytm znajduje minimalne drzewo rozpinające, wielokrotnie dodając najtańszą krawędź, która nie tworzy cyklu?

  1. AAlgorytm Dijkstry
  2. BAlgorytm Kruskala
  3. CAlgorytm Prima startujący z jednego wierzchołka
  4. DAlgorytm Floyda–Warshalla
3.Struktury danychŚredni

Co jest prawdą o macierzy sąsiedztwa grafu nieskierowanego?

  1. AJest zawsze górnotrójkątna
  2. BJest symetryczna względem głównej przekątnej
  3. CKażdy wiersz ma dokładnie jedną jedynkę
  4. DNa jej głównej przekątnej zawsze są jedynki
4.Struktury danychTrudny

Do czego służy struktura union-find w algorytmie Kruskala wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego?

  1. ADo sortowania krawędzi według wag
  2. BDo przechowywania bieżącej odległości każdego wierzchołka od źródła w trakcie przeszukiwania
  3. CDo sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
  4. DDo wyboru wierzchołka początkowego
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 12, liczba krawędzi 22. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 12|E| = 22
k =
6.Teoria grafówTrudny
921414201236ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

D · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Algorytm Kruskala

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Kruskala sortuje krawędzie według wag i dodaje je, jeśli łączą różne składowe; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego.

Odpowiedź

B · Algorytm Kruskala
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Jest symetryczna względem głównej przekątnej

Dlaczego to jest odpowiedź

W grafie nieskierowanym krawędź {u, v} oznacza ustawienie zarówno M[u][v], jak i M[v][u], więc macierz jest równa swojej transpozycji.

Odpowiedź

B · Jest symetryczna względem głównej przekątnej
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone

Dlaczego to jest odpowiedź

Find mówi, czy oba końce są w tej samej składowej; jeśli nie, krawędź zostaje dodana, a union łączy składowe.

Odpowiedź

C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

12 − 1 = 11

Krawędzie do usunięcia

k = 22 − 11 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 28

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

CE (1): weź
AC (2): weź
GB (3): weź
DE (4): weź
GD (6): weź
AB (9): pomiń, zamyka cykl
EF (12): weź

Łączna waga

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

Odpowiedź

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms