Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. AWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
  2. BLogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  3. CPodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
  4. DLogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie przez wstawianie działa w O(n) dla danych posortowanych. Czy to przeczy dolnemu ograniczeniu Ω(n log n) dla sortowania przez porównania?

  1. ANie, bo sortowanie przez wstawianie nie jest sortowaniem przez porównania
  2. BTak, więc dolne ograniczenie jest błędne
  3. CTak, ale tylko dla tablic krótszych niż 100
  4. DNie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danychŚredni

Gdzie w kopcu binarnym przechowywanym w tablicy od indeksu 0 znajduje się rodzic węzła o indeksie i?

  1. APod indeksem 2i + 1
  2. BPod indeksem i − 1
  3. CPod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DPod indeksem ⌊i / 2⌋ + 1
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego bazy danych do indeksów często używają B+ drzew zamiast zwykłych B-drzew?

  1. AB+ drzewa przechowują dane tylko w korzeniu
  2. BB+ drzewa nie muszą być zrównoważone
  3. CWszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
  4. DB+ drzewa używają binarnych węzłów wewnętrznych, co zmniejsza liczbę odczytów z dysku
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 19, liczba krawędzi 28. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 19|E| = 28
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Ograniczenie mówi, że każde sortowanie przez porównania wymaga około n log n porównań dla pewnych danych rozmiaru n; szczególne dane mogą być przetwarzane znacznie szybciej.

Odpowiedź

D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzieci i znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2, więc rodzic i jest pod ⌊(i − 1) / 2⌋; przy indeksowaniu od 1 jest to ⌊i / 2⌋.

Odpowiedź

C · Pod indeksem ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

W B+ drzewie węzły wewnętrzne tylko kierują wyszukiwaniem, a liście są połączone w kolejności kluczy, więc zapytanie o zakres znajduje pierwszy klucz, a potem idzie wzdłuż liści.

Odpowiedź

C · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 10

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

19 − 1 = 18

Krawędzie do usunięcia

k = 28 − 18 = 10

Odpowiedź

k = 10
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 3

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Odpowiedź

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms