Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przy monetach 1, 3 i 4 oraz kwocie 6, ile monet używa zachłanna metoda „najpierw największa moneta" w porównaniu z optimum?

  1. AZachłanna używa 2 monet; optimum to 2
  2. BZachłanna używa 3 monet; optimum to 2
  3. CZachłanna używa 3 monet; optimum to 3
  4. DZachłanna używa 4 monet; optimum to 3
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An = o(n²), ale n nie jest o(n)
  2. B2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
  3. Cn = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  4. Dn² = o(n)
3.Struktury danychŚredni

Sieć drogowa ma 100 000 skrzyżowań, z których każde łączy się z około 4 innymi. Która reprezentacja jest najodpowiedniejsza?

  1. AKopiec binarny krawędzi
  2. BMacierz sąsiedztwa
  3. CJedna posortowana tablica wierzchołków
  4. DListy sąsiedztwa
4.Struktury danychTrudny

Węzeł AVL jest niezrównoważony, bo prawe poddrzewo jego lewego dziecka stało się zbyt wysokie (przypadek lewo-prawo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. ARotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  2. BPojedynczą rotację w lewo w węźle
  3. CRotację w prawo w lewym dziecku, a potem rotację w lewo w węźle
  4. DPojedynczą rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 2 z A do C? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda zachłanna bierze 4 + 1 + 1 = 3 monety, a 3 + 3 to tylko 2, więc dla tego systemu monet metoda zachłanna nie jest optymalna; optymalne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

B · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Listy sąsiedztwa

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz wymagałaby 1010 komórek, prawie wszystkich pustych; listy sąsiedztwa przechowują tylko około 400 000 wpisów krawędzi.

Odpowiedź

D · Listy sąsiedztwa
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

Pierwsza rotacja zamienia przypadek lewo-prawo w przypadek lewo-lewo, który następnie naprawia rotacja w prawo w niezrównoważonym węźle.

Odpowiedź

A · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 19

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

Odpowiedź

L = 19

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)AC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms