Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa budowania kopca binarnego z n nieposortowanych elementów metodą wstępującą (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW liście jednokierunkowej
  2. BW tablicy dynamicznej
  3. CW posortowanej tablicy
  4. DW liście dwukierunkowej
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. ABinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  2. BTablica mieszająca wszystkich elementów
  3. CStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
  4. DKolejka przechowująca każdą parę elementów
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K5? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K5
H =
6.Teoria grafówTrudny
41617614111873ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma kosztów przesiewania w dół (sift-down) po wszystkich poziomach tworzy szereg zbieżny, więc budowa kopca (heapify) działa w czasie liniowym.

Odpowiedź

D · O(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

D · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

C · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Odpowiedź

H = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 34

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BE (3): weź
AB (4): weź
BD (6): weź
EF (7): weź
DE (11): pomiń, zamyka cykl
CE (14): weź

Łączna waga

W = 3 + 4 + 6 + 7 + 14 = 34

Odpowiedź

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms