Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. ALogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  2. BLogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
  3. CPodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
  4. DWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest czas działania algorytmu Dijkstry z kopcem binarnym dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³)
  4. DO((V + E) log V)
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa się, by sprawdzić, czy nawiasy w „{[()]}” są zrównoważone?

  1. ATablicy mieszającej
  2. BKolejki
  3. CStosu
  4. DBinarnego drzewa poszukiwań
4.Struktury danychTrudny

Jak wykryć, czy lista jednokierunkowa zawiera cykl, używając O(1) dodatkowej pamięci?

  1. ALiczyć węzły, aż liczba przekroczy pole z długością listy
  2. BZapisywać każdy odwiedzony węzeł w zbiorze mieszającym
  3. CPrzesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
  4. DPosortować listę i szukać duplikatów
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
12613768109ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

B · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O((V + E) log V)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest V operacji pobrania minimum i do E operacji zmniejszenia klucza, każda O(log V); kopiec Fibonacciego poprawia to do O(E + V log V).

Odpowiedź

D · O((V + E) log V)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy nawias otwierający odkłada się na stos (push), a przy nawiasie zamykającym zdejmuje (pop); musi pasować do zdjętego nawiasu, a na końcu stos musi być pusty.

Odpowiedź

C · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają

Dlaczego to jest odpowiedź

W algorytmie Floyda, jeśli jest cykl, szybki wskaźnik w końcu dogania wolny; w przeciwnym razie szybki wskaźnik dochodzi do null.

Odpowiedź

C · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 12
2. B (12): C: 18, D: 25, E: 21
3. C (18)
4. E (21): F: 31
5. D (25)
6. F (31)

runda 4

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms