Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ATak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
  2. BNie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
  3. CTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
  4. DNie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie topologiczne jest możliwe tylko dla:

  1. AGrafów nieskierowanych
  2. BGrafów pełnych
  3. CSkierowanych grafów acyklicznych
  4. DGrafów z ujemnymi wagami
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. AKolejki o stałym rozmiarze
  2. BFunkcji mieszającej
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań
  4. DPrzechodzenia grafu
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

  1. AFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
  2. BUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
  3. CBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu
  4. DTe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1931041595161318ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

A · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Skierowanych grafów acyklicznych

Dlaczego to jest odpowiedź

Porządek topologiczny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf skierowany nie ma cykli; można go znaleźć w czasie O(V + E) za pomocą DFS lub algorytmu Kahna.

Odpowiedź

C · Skierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

A · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

D · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 50

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (3): weź
DE (4): weź
GB (5): weź
EF (9): weź
CE (10): weź
GD (13): pomiń, zamyka cykl
DF (15): pomiń, zamyka cykl
GC (16): pomiń, zamyka cykl
GE (18): pomiń, zamyka cykl
AB (19): weź

Łączna waga

W = 3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 19 = 50

Odpowiedź

W = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms