Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Które stwierdzenie o funkcji rekurencyjnej bez osiągalnego przypadku bazowego jest poprawne?

  1. ADziała w czasie O(1)
  2. BWywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
  3. CAutomatycznie zwraca 0
  4. DKompilator zawsze zamienia ją na pętlę, która kończy się bezpiecznie
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Najkrótsze ścieżki proste można znaleźć w czasie wielomianowym. Co wiadomo o znajdowaniu najdłuższej ścieżki prostej między dwoma wierzchołkami w ogólnym grafie?

  1. AJest nierozstrzygalne
  2. BJest NP-trudne
  3. CMożna je rozwiązać algorytmem Dijkstry z wagami o przeciwnym znaku
  4. DZawsze jest rozwiązywalne w O(V + E)
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.Struktury danychTrudny

Węzeł AVL jest niezrównoważony, bo prawe poddrzewo jego lewego dziecka stało się zbyt wysokie (przypadek lewo-prawo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. APojedynczą rotację w prawo w węźle
  2. BPojedynczą rotację w lewo w węźle
  3. CRotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  4. DRotację w prawo w lewym dziecku, a potem rotację w lewo w węźle
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 3
L =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów o długości 2 z B do E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Bez przypadku bazowego rekurencja nigdy się nie kończy; w praktyce brakuje pamięci na ramki stosu i program się zawiesza.

Odpowiedź

B · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Jest NP-trudne

Dlaczego to jest odpowiedź

Najdłuższa ścieżka prosta o długości V − 1 to ścieżka Hamiltona, problem NP-zupełny; w acyklicznych grafach skierowanych jest jednak rozwiązywalne w czasie liniowym.

Odpowiedź

B · Jest NP-trudne
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

B · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

Pierwsza rotacja zamienia przypadek lewo-prawo w przypadek lewo-lewo, który następnie naprawia rotacja w prawo w niezrównoważonym węźle.

Odpowiedź

C · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Odpowiedź

L = 6

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)BE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms