Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. ASortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
  2. BProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  3. CJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
  4. DSortowanie przez scalanie już jest O(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak algorytm Bellmana–Forda wykrywa cykl o ujemnej wadze osiągalny ze źródła?

  1. APo V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
  2. BSprawdza, czy któraś krawędź ma ujemną wagę
  3. CZlicza cykle za pomocą przeszukiwania w głąb
  4. DUruchamia dwukrotnie algorytm Dijkstry i porównuje oba wyniki odległości
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego kopiec binarny można przechowywać w tablicy bez żadnych wskaźników?

  1. AKopce nigdy nie zawierają więcej niż 100 elementów
  2. BTablice automatycznie utrzymują klucze w kolejności posortowanej, więc wskaźniki nie są potrzebne
  3. CWszystkie klucze w kopcu są równe
  4. DJest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest czas działania przeszukiwania wszerz (BFS) w grafie o V wierzchołkach przechowywanym jako macierz sąsiedztwa?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDE

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

C · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie rzeczywiste najkrótsze odległości zostają znalezione w ciągu V − 1 rund; jeśli krawędź nadal można poprawić, musi istnieć cykl ujemny.

Odpowiedź

A · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zupełność oznacza brak luk, więc dzieci indeksu i zawsze znajdują się pod 2i + 1 i 2i + 2.

Odpowiedź

D · Jest zupełnym drzewem binarnym, więc pozycje wynikają z prostych wzorów na indeksy
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z V wierzchołków przegląda wiersz V elementów, co daje O(V²); przy listach sąsiedztwa BFS ma złożoność O(V + E).

Odpowiedź

B · O(V²)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Wierzchołki nieparzyste

C, D, E, F → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 4

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Jeszcze jeden krok

(M³)BB = 1·1 + 4·0 + 2·1 + 0·1 + 1·1 = 4

Odpowiedź

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms