Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jak algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające?

  1. ARozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
  2. BUsuwa najdroższą krawędź, dopóki nie znikną cykle
  3. CUruchamia przeszukiwanie wszerz i zachowuje drzewo BFS
  4. DSortuje wszystkie krawędzie według wagi i dodaje każdą, o ile nie utworzy cyklu w lesie
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Która technika zapewnia oczekiwany czas działania O(n log n) dla quicksorta na dowolnych danych wejściowych?

  1. APosortowanie danych przed uruchomieniem quicksorta
  2. BStosowanie rekurencji tylko po lewej stronie
  3. CWybieranie zawsze pierwszego elementu
  4. DLosowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danychŚredni

Jak wstawia się nowy element do kopca binarnego?

  1. ABuduje się cały kopiec od nowa
  2. BUmieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
  3. CUmieszcza się go w korzeniu i przesuwa w dół
  4. DWstawia się go na właściwą posortowaną pozycję, przesuwając o jedno miejsce w prawo wszystkie większe elementy
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
  2. BBy utrzymać tablicę posortowaną
  3. CBy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
  4. DBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
415271144194ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Prima z kolejką priorytetową krawędzi przekrojowych działa w czasie O(E log V) przy kopcu binarnym.

Odpowiedź

A · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy losowym pivocie oczekiwany czas działania wynosi O(n log n) dla każdych danych wejściowych; złe przypadki nadal istnieją, ale są bardzo mało prawdopodobne.

Odpowiedź

D · Losowanie pivota z rozkładem jednostajnym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

Dlaczego to jest odpowiedź

Dodanie na końcu zachowuje zupełność drzewa; zamiany z rodzicem przywracają porządek w O(log n) krokach.

Odpowiedź

B · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

C · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 14

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 4, C: 15
B (4): C: 6, D: 11, G: 5
G (5): D: 9
C (6)
D (9): E: 10, F: 23
E (10): F: 14
F (14)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G → D → E → F
d(F) = 14

Odpowiedź

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms