Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  2. BSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
  3. COgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
  4. D2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danychŚredni

Która metoda rozwiązywania kolizji przechowuje kolidujące klucze w liście w tym samym kubełku?

  1. AŁańcuchowanie (separate chaining)
  2. BHaszowanie podwójne
  3. CSondowanie kwadratowe
  4. DSondowanie liniowe
4.Struktury danychTrudny

Która własność sprawia, że każde B-drzewo jest idealnie zrównoważone?

  1. AKlucze są przechowywane tylko w korzeniu
  2. BKażdy węzeł przechowuje jeden klucz
  3. CWszystkie liście są na tej samej głębokości
  4. DKażdy węzeł ma dokładnie dwoje dzieci
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 2 z E do C? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(2ⁿ)

Dlaczego to jest odpowiedź

Liczba wywołań podwaja się na każdym poziomie, a poziomów jest n, więc łącznie jest ich około 2ⁿ, jak w wieżach Hanoi.

Odpowiedź

C · O(2ⁿ)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

D · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Łańcuchowanie (separate chaining)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łańcuchowanie utrzymuje listę wiązaną (lub inną strukturę) dla każdego kubełka; adresowanie otwarte szuka innego wolnego miejsca w samej tablicy.

Odpowiedź

A · Łańcuchowanie (separate chaining)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Wszystkie liście są na tej samej głębokości

Dlaczego to jest odpowiedź

Pełne węzły dzielą się w górę, a drzewo staje się wyższe tylko przy podziale korzenia, więc wszystkie liście zawsze pozostają na tym samym poziomie.

Odpowiedź

C · Wszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 + 1·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms