Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie przez wstawianie działa w O(n) dla danych posortowanych. Czy to przeczy dolnemu ograniczeniu Ω(n log n) dla sortowania przez porównania?

  1. ANie, bo sortowanie przez wstawianie nie jest sortowaniem przez porównania
  2. BTak, więc dolne ograniczenie jest błędne
  3. CNie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
  4. DTak, ale tylko dla tablic krótszych niż 100
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(1), bo indeks jest znany
  2. BO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  3. CO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
  4. DO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
4.Struktury danychTrudny

Filtr Blooma potrafi odpowiedzieć na pytanie „czy ten element należy do zbioru?”:

  1. AZ możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
  2. BZ możliwymi fałszywie ujemnymi wynikami, ale bez fałszywie dodatnich
  3. CZawsze dokładnie
  4. DTylko dla liczb
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
6226414915ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Pętla wewnętrzna wykonuje się około log₂ n razy dla każdej z n iteracji zewnętrznych, co daje O(n log n).

Odpowiedź

D · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Ograniczenie mówi, że każde sortowanie przez porównania wymaga około n log n porównań dla pewnych danych rozmiaru n; szczególne dane mogą być przetwarzane znacznie szybciej.

Odpowiedź

C · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

C · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli którykolwiek bit dla elementu jest równy 0, elementu na pewno nie ma; jeśli wszystkie są równe 1, element prawdopodobnie jest. Filtry Blooma poświęcają dokładność na rzecz bardzo małego zużycia pamięci.

Odpowiedź

A · Z możliwymi fałszywie dodatnimi wynikami, ale bez fałszywie ujemnych
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 18

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Odpowiedź

L = 18

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 19

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6, C: 2
C (2): B: 4, E: 6
B (4): D: 10
E (6): F: 21
D (10): F: 19
F (19)

Najkrótsza ścieżka

A → C → B → D → F
d(F) = 19

Odpowiedź

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms