Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Quicksort zawsze używa pierwszego elementu jako elementu osiowego. Dla jakich danych wykazuje zachowanie pesymistyczne?

  1. ADla tablicy, w której wszystkie elementy są różne
  2. BDla tablicy już posortowanej
  3. CDla tablicy w losowej kolejności
  4. DDla tablicy o długości 2
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
  2. BX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
  3. CX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
  4. DX należy do P, a X redukuje się do SAT
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest pesymistyczna wysokość binarnego drzewa poszukiwań z n węzłami, jeśli klucze są wstawiane w kolejności posortowanej?

  1. An (drzewo staje się listą wiązaną)
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. D1
4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

  1. AKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
  2. BKolejka FIFO ostatnich k wartości
  3. CKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
  4. DPosortowana tablica wszystkich n wartości
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
6110513121110ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Dla tablicy już posortowanej

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla danych posortowanych element osiowy jest zawsze minimum, więc jedna strona jest pusta, a druga ma n − 1 elementów, co daje O(n²).

Odpowiedź

B · Dla tablicy już posortowanej
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

B · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · n (drzewo staje się listą wiązaną)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wstawianie posortowanych kluczy tworzy zdegenerowane drzewo o wysokości n, przez co wyszukiwanie ma złożoność O(n). Drzewa zrównoważone temu zapobiegają.

Odpowiedź

A · n (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

A · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 17

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 6
B (6)
E (6): D: 19, F: 17
F (17)
D (19)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F
d(F) = 17

Odpowiedź

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms