Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przy monetach 1, 3 i 4 oraz kwocie 6, ile monet używa zachłanna metoda „najpierw największa moneta" w porównaniu z optimum?

  1. AZachłanna używa 3 monet; optimum to 2
  2. BZachłanna używa 4 monet; optimum to 3
  3. CZachłanna używa 3 monet; optimum to 3
  4. DZachłanna używa 2 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co by wynikało, gdyby ktoś znalazł algorytm wielomianowy dla jednego problemu NP-zupełnego?

  1. AWszystkie algorytmy o czasie wykładniczym od razu działałyby w czasie liniowym
  2. BKażdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
  3. CProblem stopu stałby się rozstrzygalny
  4. DTylko ten jeden problem przeszedłby do P
3.Struktury danychŚredni

Węzeł binarnego drzewa poszukiwań ma prawe poddrzewo. Gdzie jest jego następnik w porządku inorder?

  1. AZawsze w jego rodzicu
  2. BZawsze w jego prawym dziecku
  3. CW skrajnie prawym węźle jego lewego poddrzewa
  4. DW skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
4.Struktury danychTrudny

Klucze 5, 3, 8, 1 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego kopca minimalnego opartego na tablicy. Jak wygląda końcowa tablica?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
715810181312ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda zachłanna bierze 4 + 1 + 1 = 3 monety, a 3 + 3 to tylko 2, więc dla tego systemu monet metoda zachłanna nie jest optymalna; optymalne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

A · Zachłanna używa 3 monet; optimum to 2
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ cała klasa NP redukuje się w czasie wielomianowym do dowolnego problemu NP-zupełnego, szybki algorytm dla jednego daje szybki algorytm dla wszystkich.

Odpowiedź

B · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie większe klucze bliskie węzłowi są w jego prawym poddrzewie, a najmniejszy z nich to tamtejszy skrajnie lewy węzeł.

Odpowiedź

D · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · [1, 3, 8, 5]

Dlaczego to jest odpowiedź

Po 5, 3, 8 tablica to [3, 5, 8]; 1 trafia pod indeks 3, zamienia się z rodzicem 5, a potem z 3, co daje [1, 3, 8, 5].

Odpowiedź

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. AB (7)
2. BC (8)
3. BD (10)
4. BE (12)

numer krawędzi 2

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms