Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czy 22n należy do O(2ⁿ)?

  1. ANie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
  2. BTak, bo stałe czynniki w wykładniku zawsze się pomija w notacji dużego O
  3. CTak, bo obie funkcje są wykładnicze
  4. DNie, bo 22n rośnie wolniej niż 2ⁿ
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  2. BO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  3. CO(1), bo indeks jest znany
  4. DO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danychTrudny

Jak wykryć, czy lista jednokierunkowa zawiera cykl, używając O(1) dodatkowej pamięci?

  1. APrzesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
  2. BZapisywać każdy odwiedzony węzeł w zbiorze mieszającym
  3. CPosortować listę i szukać duplikatów
  4. DLiczyć węzły, aż liczba przekroczy pole z długością listy
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 8. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 8
k =
6.Teoria grafówTrudny
199176121132ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź DF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(2ⁿ)

Dlaczego to jest odpowiedź

Liczba wywołań podwaja się na każdym poziomie, a poziomów jest n, więc łącznie jest ich około 2ⁿ, jak w wieżach Hanoi.

Odpowiedź

A · O(2ⁿ)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

Dlaczego to jest odpowiedź

Stała dodana do wykładnika daje stały czynnik, ale stała mnożąca wykładnik zmienia podstawę i tempo wzrostu.

Odpowiedź

A · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają

Dlaczego to jest odpowiedź

W algorytmie Floyda, jeśli jest cykl, szybki wskaźnik w końcu dogania wolny; w przeciwnym razie szybki wskaźnik dochodzi do null.

Odpowiedź

A · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 2

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 8 − 6 = 2

Odpowiedź

k = 2
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DE (1)
2. BE (2)
3. AC (9)
4. CE (12)
5. DF (13)

numer krawędzi 2

BE

Odpowiedź

krawędź BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms