Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. ACiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
  2. BŻadnego z wariantów
  3. CObu wariantów
  4. DDyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
3.Struktury danychŚredni

Do czego służy węzeł wartownika (sentinel, węzeł pozorny) w liście wiązanej?

  1. AUpraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
  2. BPrzechowuje liczbę elementów
  3. CZapobiega wydłużaniu się listy ponad ustaloną maksymalną liczbę węzłów
  4. DSprawia, że lista jest posortowana
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
16819151869ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

A · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy

Dlaczego to jest odpowiedź

Dzięki wartownikowi każdy rzeczywisty węzeł ma poprzednika, więc wstawianie lub usuwanie na początku nie wymaga specjalnej obsługi.

Odpowiedź

A · Upraszcza kod, usuwając przypadki szczególne na początku lub końcu listy
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

B · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 39

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DE (6): weź
AC (8): weź
BE (9): weź
BD (15): pomiń, zamyka cykl
AB (16): weź

Łączna waga

W = 6 + 8 + 9 + 16 = 39

Odpowiedź

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms