Podstawy elektrotechniki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
−+Vs​ = 6 VIs​1,5 AAR1​10 ΩR2​2 ΩB

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VB (mierzony względem masy).

Is = 1,5 AVs = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 2 Ω
VB = V
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 15 Ω−+Vs​ = 10 V+−V1​10 VR2​10 ΩAR3​20 ΩBIs​0,5 A

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VB (mierzony względem masy).

V1 = 10 VIs = 0,5 AVs = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 Ω
VB = V
5.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAab

Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
6.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​25 ΩAIs​2 ABRL​6 ΩIL​

Między a–b podłączono obciążenie RL = 6 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.

V1 = 18 VIs = 2 AR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 20 ΩRL = 6 Ω
IL = A
7.Stany nieustalone RC i RLŚredni
R = 47 Ωt = 0L33 mHi(t)

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 0,75 A? Wyznacz t.

i(0) = 1,5 AR = 47 ΩL = 33 mH
t = ms
8.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​24 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 6 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 20 ms.

Vs = 24 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 6 Vt = 20 ms
vC = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
50 V200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 47 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 47 µF
cos φ =
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
24 V50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz
11.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 35 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 35 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 35 kWpf = 0,65V = 240 V
Q = kvar
12.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 40 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 40 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
13.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M22 kW, η = 92%cos φ = 0,8

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 22 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,8 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.

Pout = 22 kWη = 92%cos φ = 0,8VL = 400 V
IL = A
14.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 60 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 60 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformatoryŚredni
RL​ = 10 Ω41960 VV2​I1​ = ?I2​

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 4:1 przyłożono napięcie 960 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 10 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I1.

N1:N2 = 4:1V1 = 960 VRL = 10 Ω
I1 = A
16.TransformatoryTrudny
pf 0,875 kVA, 75% obciążenie

Jednofazowy transformator 75 kVA ma straty w rdzeniu 450 W i straty w miedzi 1125 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 75% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty Ploss w watach przy tym obciążeniu.

S = 75 kVAPcore = 450 WPcu,fl = 1125 Wx = 0,75pf = 0,8
Ploss = W

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 28,11 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 5 + 20 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω
Req = R1 + 8,108 = 20 + 8,108 = 28,11 Ω

Odpowiedź

Req = 28,11 Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 8,587 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 6 + 15 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 8,75 Ω
R3 + 8,75 = 10,75 Ω
R2 ∥ 10,75 = 4,587 Ω
Req = R1 + 4,587 = 4 + 4,587 = 8,587 Ω

Odpowiedź

Req = 8,587 Ω
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VB = 3,5 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + Vs = VA + 6
VA/R1 + VB/R2 = Is

Rozwiąż

VA/10 + (VA + 6)/2 = 1,5
VA = (1,5 − 6/2)/(1/10 + 1/2) = −2,5 V
VB = −2,5 + 6 = 3,5 V

Odpowiedź

VB = 3,5 V
4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VB = 13,08 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + 10
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Rozwiąż

(VA − 10)/15 + VA/10 + (VA + 10)/20 = 0,5
VA·(1/15 + 1/10 + 1/20) = 0,5 + 10/15 − 10/20 = 0,6667
VA = 0,6667/0,2167 = 3,077 V
VB = 13,08 V

Odpowiedź

VB = 13,08 V
5.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Rth = 16,44 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩZWARCIER2​8 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 12 = 16,44 Ω
6.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IL = −1,25 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩZWARCIER2​25 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 10·25/(10+25) = 7,143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,143 + 20 = 27,14 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​25 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12,86 + (−2)·7,143 = −1,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1,429 + (−2)·20 = −41,43 V
Rth​ = 27,14 Ω−+Vth​41,43 VRL​6 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = −41,43/(27,14 + 6) = −1,25 A
7.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,4867 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

Wyznacz czas

0,75 = 1,5·e−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,75)
t = 0,7021·ln(2) = 0,4867 ms

Odpowiedź

t = 0,4867 ms
8.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 14,18 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 24 + (6 − 24)·e−t/τ

Napięcie w danej chwili

vC(20) = 24 + (−18)·e−20/33 = 14,18 V

Odpowiedź

vC = 14,18 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,9646

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 25,13 Ω, XC = 16,93 Ω

Impedancja

|Z| = √(30² + (8,201)²) = 31,1 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 30/31,1 = 0,9646
Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,9646
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f0 = 239,9 Hz

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·22·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Odpowiedź

f0 = 239,9 Hz
11.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 40,92 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Moc bierna

Q = P·tan φ = 35·1,169 = 40,92 kvar

Odpowiedź

Q = 40,92 kvar
12.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: QC = 18,24 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41,41°) = 35,28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18,24 kvar

Odpowiedź

QC = 18,24 kvar
13.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: IL = 43,14 A

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektryczna moc wejściowa

Pin = Pout/η = 22/0,92 = 23,91 kW

Prąd linii

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23913/(√3·400·0,8) = 43,14 A

Odpowiedź

IL = 43,14 A
14.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 215,8 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 32,27 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10757/(314,2·398,4²) = 215,8 µF

Odpowiedź

Cph = 215,8 µF
15.Transformatory

Odpowiedź: I1 = 6 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V2 = 960/4 = 240 V
I2 = 240/10 = 24 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/4 = 6 A

Odpowiedź

I1 = 6 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·RL = 160 Ω, a 960/160 daje ten sam prąd.

16.Transformatory

Odpowiedź: Ploss = 1083 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·1125 = 632,8 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

Ploss = 450 + 632,8 = 1083 W

Odpowiedź

Ploss = 1083 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,65%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals