Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 30 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości 8 kN/m przy ścianie, malejące do zera na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.
Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.
Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.
Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 150 mm i grubości 20 mm, wysokość całkowitą 320 mm i środnik o grubości 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi centralnej x.
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka.
Dla pokazanego profilu gruntu wyznacz pionowe naprężenie efektywne σ′ w punkcie X.
Dla pokazanego profilu gruntu wyznacz ciśnienie wody w porach u w punkcie X.
Warstwa gliny prekonsolidowanej o miąższości 8 m ma Cc = 0,5, Cr = 0,02 i e₀ = 1,05. W połowie jej głębokości efektywne naprężenie pionowe wynosi 100 kPa i naprężenie prekonsolidacji wynosi 210 kPa. Nowy budynek zwiększa naprężenie pionowe w połowie głębokości o 65 kPa. Wyznacz osiadanie konsolidacyjne pierwotne S w mm.
Warstwa gliny o miąższości 9,5 m ma współczynnik konsolidacji cv = 3 m²/rok. Leży na nieprzepuszczalnej skale, a nad nią jest piasek, więc woda odpływa tylko górą. Dla średniego stopnia konsolidacji 50% czynnik czasu wynosi Tv = 0,197. Po ilu latach t warstwa osiągnie 50% konsolidacji?
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
Woda płynie z natężeniem 5 L/s przez rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 20 L/s?
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 750 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).
Podczas próby pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 24 m, a jej wał pobiera 29 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 11 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 3 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 200 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.
Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 27 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €8 000, €5 000, €6 000, €6 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €23 000, €25 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 70,75 a 103,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 10% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
Odpowiedź: RB = 45,83 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Odpowiedź: MA = 183 kN·m
Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Odpowiedź: Mx = 7,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Równowaga całej belki.
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
Odpowiedź: E (x = 8 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
Odpowiedź: δ = 6,027 mm
Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).
Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.
Odpowiedź: δmax = 1,645 mm
Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).
Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.
Odpowiedź: Pcr = 71,19 kN
Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.
Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.
Odpowiedź: σcr = 11,05 MPa
Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.
Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.
Odpowiedź: Ix = 157,2 × 10⁶ mm⁴
Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = Ic + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.
Oba wycięcia razem mają szerokość (B − tw) i wysokość hw = H − 2tf oraz wspólną oś x.
Odpowiedź: Mallow = 8,481 kN·m
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Moment dodatni: góra jest ściskana, dół rozciągany.
Odpowiedź: σ′ = 53,38 kPa
Naprężenie efektywne (Terzaghi): szkielet gruntowy przenosi σ′ = σ − u. Naprężenie całkowite σ to ciężar wszystkiego nad punktem, Σγ·h, z ciężarem objętościowym suchym nad zwierciadłem wody i nasyconym poniżej. Poniżej zwierciadła ciśnienie wody w porach jest hydrostatyczne: u = γw·(głębokość poniżej zwierciadła).
Dodaj ciężar każdej warstwy gruntu nad X. Nad zwierciadłem wody użyj ciężaru objętościowego suchego, poniżej nasyconego.
Ciśnienie wody rośnie z głębokością poniżej zwierciadła.
Odpowiedź: u = 58,86 kPa
Naprężenie efektywne (Terzaghi): szkielet gruntowy przenosi σ′ = σ − u. Naprężenie całkowite σ to ciężar wszystkiego nad punktem, Σγ·h, z ciężarem objętościowym suchym nad zwierciadłem wody i nasyconym poniżej. Poniżej zwierciadła ciśnienie wody w porach jest hydrostatyczne: u = γw·(głębokość poniżej zwierciadła).
Ciśnienie wody rośnie z głębokością poniżej zwierciadła.
Odpowiedź: S = 16,97 mm
Konsolidacja pierwotna warstwy gliny o miąższości H, z naprężeniem efektywnym w środku warstwy: σ′f = σ′0 + Δσ. Glina normalnie skonsolidowana: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Glina prekonsolidowana ulega ponownemu ściśnięciu wzdłuż Cr aż do naprężenia prekonsolidacji σ′p, a dopiero powyżej niego podąża za Cc. Czas: t = Tv·Hdr²/cv, gdzie droga filtracji Hdr wynosi H/2, gdy woda może odpływać górą i dołem, oraz H, gdy drenaż jest tylko z jednej strony.
Glina pozostaje na linii ponownego ściskania.
Odpowiedź: t = 5,926 lata
Konsolidacja pierwotna warstwy gliny o miąższości H, z naprężeniem efektywnym w środku warstwy: σ′f = σ′0 + Δσ. Glina normalnie skonsolidowana: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Glina prekonsolidowana ulega ponownemu ściśnięciu wzdłuż Cr aż do naprężenia prekonsolidacji σ′p, a dopiero powyżej niego podąża za Cc. Czas: t = Tv·Hdr²/cv, gdzie droga filtracji Hdr wynosi H/2, gdy woda może odpływać górą i dołem, oraz H, gdy drenaż jest tylko z jednej strony.
Odpowiedź: F = 264,9 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Odpowiedź: F = 155,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Odpowiedź: hf = 3,264 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Odpowiedź: Δz = 1,68 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Odpowiedź: Q = 0,4979 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Odpowiedź: S = 0,01321 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
To spadek o 13,21 m na kilometr.
Odpowiedź: η = 64,95 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Odpowiedź: H = 37,83 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
Odpowiedź: FV = 7155 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Odpowiedź: FV = 227619 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Sam wpłaciłeś €162 000; reszta to odsetki.
Odpowiedź: NPV = −1887 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
Odpowiedź: IRR = 13,61 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Odpowiedź: P = 0,5731
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Odpowiedź: x = 449 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. Egzamin FE exam prowadzi NCEES, organizacja niezwiązana z ExamProblems, która go nie popiera.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil