Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 42 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 40 mm, długość 200 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.
Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.
Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.
Pełny wał ma przenosić 5 kW przy 500 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τmax.
Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 1200 mm i grubości ścianki 12 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 0,8 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 30° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σn działające w poprzek spoiny.
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θA belki na podporze A, w radianach.
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.
Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.
Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 100 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 60° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 45° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 40 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
Klocek zsuwa się bez prędkości początkowej po zboczu nachylonym pod kątem 40° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,3. Wyznacz jego prędkość v po przebyciu 19 m wzdłuż zbocza.
Sprężynę o sztywności 1000 N/m u podstawy zbocza nachylonego pod kątem 20° ściśnięto o 15 cm, opierając o nią klocek o masie 3 kg, i zwolniono. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a zboczem wynosi 0,15. Jak daleko d w górę zbocza od punktu zwolnienia przesunie się klocek, zanim się zatrzyma? (Pomiń krótki odcinek, na którym działa sprężyna, tzn. uwzględnij tarcie i siłę ciężkości na całej drodze d).
Masa 15 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 4 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 200 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.
Masa 20 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 25 kN/m, a dolna k₂ = 100 kN/m. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Silnik cieplny pracuje między zbiornikiem gorącym o temperaturze 550 °C a zbiornikiem zimnym o temperaturze 30 °C. Wyznacz największą możliwą sprawność cieplną ηmax.
Lodówka utrzymuje w komorze chłodniczej 4 °C w kuchni o temperaturze 30 °C, odbierając ciepło z komory w ilości 0,5 kW. Wyznacz największy możliwy współczynnik wydajności COPmax.
Idealny obieg Diesla ma stopień sprężania r = 15 i stopień obciążenia rc = v₃/v₂ = 2. Przyjmij założenia modelu zimnego powietrza: powietrze jest gazem doskonałym o stałych ciepłach właściwych, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) i cv = 0,718 kJ/(kg·K). Wyznacz jego sprawność cieplną η w procentach.
Elektrownia z turbiną gazową pracuje w obiegu Braytona przy stosunku ciśnień w sprężarce 12. Powietrze wpływa do sprężarki w temperaturze 290 K, a do turbiny w temperaturze 1500 K. Sprawność izentropowa sprężarki wynosi 85%, a turbiny 88%. Przyjmij założenia modelu zimnego powietrza: powietrze jest gazem doskonałym o stałych ciepłach właściwych, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) i cv = 0,718 kJ/(kg·K). Wyznacz pracę netto wnet na kilogram powietrza, w kJ/kg.
Rurka Prandtla w rurociągu wodnym wskazuje różnicę 26 kPa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Wyznacz prędkość wody v przy końcówce.
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm i wznosi się o 9 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 290 kPa, a prędkość 2,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
Woda płynie z prędkością średnią 1,6 m/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 120 L/s?
Pompa tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 64 m. Sprawność pompy wynosi 65%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Pompa przetłacza 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Ściana składa się z 50 mm (cegła) i 150 mm (wełna mineralna), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 18 °C i -15 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
Ściana z 100 mm (styropian) i 25 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 5 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 12 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
Silnik o mocy 5,5 kW pracujący z prędkością 960 rpm napędza zębnik o 20 zębach, który zazębia się z kołem o 80 zębach. Sprawność pary kół wynosi 98%. Wyznacz moment obrotowy T1 na wale silnika.
Pas otwarty łączy koło napędzające 160 mm o prędkości 720 obr/min z kołem 300 mm; środki są oddalone o 600 mm. Współczynnik tarcia wynosi 0,25, a siła w cięgnie czynnym nie może przekroczyć 1500 N. Wyznacz największą moc P, jaką pas może przenieść bez poślizgu, w kW (pomiń efekty odśrodkowe).
Znajdź f(t) dla F(s) = (s + 15)/(s² + 8s + 32) metodą dopełnienia do kwadratu i oblicz f(0,2).
Układ spełnia równanie y″ + 6y′ + 5y = 5·u(t). Startuje ze stanu spoczynku (y(0) = 0, y′(0) = 0), a wejściem jest skok u(t) = 2 dla t ≥ 0. Za pomocą transformaty Laplace’a znajdź wyjście y(0,6).
Obiekt G(s) = K/(s(s + 10)) jest w pętli jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego. Znajdź wzmocnienie K, dla którego układ zamknięty jest tłumiony krytycznie (dwa równe bieguny rzeczywiste).
Obiekt G(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)) jest w pętli jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego. Za pomocą kryterium Routha–Hurwitza znajdź największe wzmocnienie Kmax, przy którym układ zamknięty jest stabilny.
Układ ma transmitancję G(s) = 16/(s² + 8s + 32) i otrzymuje jednostkowe wymuszenie skokowe. Znajdź 2-procentowy czas ustalania ts odpowiedzi skokowej, korzystając z ts ≈ 4/(ζωₙ).
Szeregowy obwód RLC z R = 76 Ω, L = 200 mH i C = 22 µF jest dołączony do skoku 5 V w chwili t = 0. Kondensator jest nienaładowany i przed skokiem nie płynie prąd. Znajdź pulsację własną nietłumioną ωn w rad/s.
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym o G(s) = K/(s(s + 5)) ma nadążać za narastaniem liniowym r(t) = 1t z uchybem ustalonym 0,05. Wyznacz wzmocnienie K.
Regulator PI C(s) = Kp + Ki/s steruje obiektem G(s) = 2/(s + 4) w pętli ze sprzężeniem jednostkowym. Układ zamknięty ma mieć ωₙ = 3 rad/s i ζ = 0,8. Wyznacz wzmocnienie proporcjonalne Kp.
Odpowiedź: RB = 36,25 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Odpowiedź: RB = 14 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Odpowiedź: P = 57,68 kN
Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.
Odpowiedź: δ = 0,9265 mm
Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.
Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.
Odpowiedź: φ = 14,37 °
Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.
Odpowiedź: d = 21,35 mm
Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.
W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.
Odpowiedź: Mx = 22,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Równowaga całej belki.
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
Odpowiedź: Mmax = 137,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Równowaga całej belki.
Występuje w x = 5 m od A.
Odpowiedź: τmax = 69,46 MPa
Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Odpowiedź: σn = 35 MPa
Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Cylinder cienkościenny: naprężenie obwodowe σh = pr/t i naprężenie osiowe σa = pr/(2t); są to naprężenia główne w ściance.
Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σa), a oś y po obwodzie (σh). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.
Odpowiedź: θA = 0,003008 rad
Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.
Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.
To 0,1723°.
Odpowiedź: δmax = 1,172 mm
Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).
Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.
Odpowiedź: Pcr = 154,2 kN
Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.
Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.
Odpowiedź: d = 60,35 mm
Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.
Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 99,41, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.
Odpowiedź: x = 69,21 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Start i lądowanie na tej samej wysokości: t = 2vy/g.
Odpowiedź: x = 121,9 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: v = 12,41 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Klocek obniża się o d·sin θ, a tarcie zabiera μmg·cos θ·d. Masa się skraca.
Odpowiedź: d = 0,7915 m
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: ζ = 0,4082
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.
Odpowiedź: fn = 5,033 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Odpowiedź: ηmax = 63,17 %
Ograniczenia z drugiej zasady: żaden obieg pracujący między zbiornikami o temperaturach bezwzględnych TH i TL nie przewyższy obiegu odwracalnego (Carnota): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) i COPHP,max = TH/(TH − TL). Energia jest zawsze zachowana: QH = W + QL.
Odpowiedź: COPmax = 10,66
Ograniczenia z drugiej zasady: żaden obieg pracujący między zbiornikami o temperaturach bezwzględnych TH i TL nie przewyższy obiegu odwracalnego (Carnota): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) i COPHP,max = TH/(TH − TL). Energia jest zawsze zachowana: QH = W + QL.
Odpowiedź: η = 60,37 %
Obieg Diesla (silnik o zapłonie samoczynnym): 1→2 sprężanie izentropowe, 2→3 doprowadzenie ciepła przy stałym ciśnieniu, 3→4 rozprężanie izentropowe, 4→1 odprowadzenie ciepła przy stałej objętości. Przy stopniu sprężania r = v₁/v₂ i stopniu obciążenia rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) oraz η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Odpowiedź: wnet = 319,8 kJ/kg
Obieg Braytona (turbina gazowa): 1→2 sprężanie izentropowe, 2→3 doprowadzenie ciepła przy stałym ciśnieniu, 3→4 rozprężanie izentropowe w turbinie, 4→1 odprowadzenie ciepła przy stałym ciśnieniu. Przy stosunku ciśnień rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k oraz η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Praca netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Przy sprawnościach izentropowych sprężarka wymaga ws/ηc, a turbina daje ηt·ws.
Wskaźnik pracy zwrotnej: wc/wt = 52,57%.
Odpowiedź: v = 7,211 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.
Odpowiedź: p2 = 196,2 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
Odpowiedź: hf = 3,914 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Odpowiedź: H = 2,159 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.
Odpowiedź: Pel = 21,46 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Odpowiedź: Pshaft = 3,38 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Odpowiedź: Q̇ = 172,8 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Odpowiedź: Q̇ = 57,07 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Odpowiedź: T1 = 54,71 N·m
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
Odpowiedź: P = 4,674 kW
Przekładnie pasowe: bez poślizgu oba koła pasowe mają tę samą prędkość obwodową v = π·d·n/60, więc n₁·d₁ = n₂·d₂, a przełożenie wynosi d₂/d₁. Poślizg s sprawia, że koło napędzane obraca się nieco wolniej: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Przenoszona moc to P = (T₁ − T₂)·v, gdzie T₁ to siła w cięgnie czynnym, a T₂ w biernym. Tarcie ogranicza stosunek sił: T₁/T₂ = eμθ, gdzie θ jest kątem opasania w radianach na mniejszym kole; dla pasa otwartego θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) przy rozstawie osi C.
Odpowiedź: f(0.2) = 1,199
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Odpowiedź: y(0.6) = 0,6529
Transformata Laplace’a: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt zamienia pochodne na mnożenie przez s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Podstawowe pary: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), a przesunięcie s → s + σ mnoży funkcję czasu przez e−σt. Aby odwrócić wymierną F(s), rozłóż ją na ułamki proste: residuum prostego bieguna p wynosi A = [(s − p)·F(s)] przy s = p. Twierdzenie o wartości końcowej: f(∞) = lims→0 s·F(s), słuszne tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny s·F(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie. Twierdzenie o wartości początkowej: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Odpowiedź: K = 25
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Trójmian s² + βs + γ ma pierwiastek podwójny, gdy β² = 4γ.
Odpowiedź: Kmax = 792
Algebra schematów blokowych: bloki połączone szeregowo mnożą się (G₁·G₂), bloki połączone równolegle dodają się (G₁ + G₂), a pętla ze ścieżką prostą G i ścieżką sprzężenia zwrotnego H redukuje się do T = G/(1 + G·H) dla ujemnego sprzężenia zwrotnego i G/(1 − G·H) dla dodatniego. Najpierw redukuj pętle wewnętrzne, potem idź na zewnątrz. Bieguny układu zamkniętego są pierwiastkami równania charakterystycznego 1 + G(s)H(s) = 0. Dla stabilnej pętli wymuszenie skokowe o wielkości A daje w stanie ustalonym wyjście A·T(0); przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym uchyb ustalony przy skoku wynosi A/(1 + Kp), gdzie Kp = G(0).
Wszystkie elementy pierwszej kolumny muszą być dodatnie.
Odpowiedź: ts = 1 s
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Mianownik musi odpowiadać s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Odpowiedź: ωn = 476,7 rad/s
Odpowiedź skokowa: układ pierwszego rzędu G(s) = K/(τs + 1) odpowiada na skok o wielkości U przebiegiem y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): po jednej stałej czasowej τ osiąga 63,2 % wartości końcowej K·U, a po 4τ 98 %. Układ drugiego rzędu G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ma bieguny s = −ζωₙ ± jωd, gdzie ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Dla 0 < ζ < 1 odpowiedź skokowa ma przeregulowanie: przeregulowanie procentowe %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), czas szczytu tp = π/ωd, a 2-procentowy czas ustalania ts ≈ 4/(ζωₙ). Porównaj mianownik z s² + 2ζωₙs + ωₙ², aby odczytać ωₙ i ζ. Dla układu masa–sprężyna–tłumik ωₙ = √(k/m) i ζ = c/(2√(km)); dla szeregowego obwodu RLC ωₙ = 1/√(LC) i ζ = (R/2)·√(C/L).
Odpowiedź: K = 100
Uchyb ustalony: w pętli ze sprzężeniem jednostkowym o transmitancji układu otwartego G(s) uchyb wynosi E(s) = R(s)/(1 + G(s)), a z twierdzenia o wartości końcowej ess = lims→0 s·E(s). Typ układu to liczba biegunów G(s) w s = 0. Stałe uchybowe to Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) oraz Ka = lim s²·G(s), wszystkie dla s → 0. Skok o wartości A daje ess = A/(1 + Kp), narastanie liniowe A·t daje A/Kv, a parabola A·t²/2 daje A/Ka. Pętla typu 0 nadąża za skokiem ze skończonym uchybem, pętla typu 1 nadąża za nim dokładnie, a za narastaniem liniowym ze skończonym uchybem.
Duże wzmocnienie sprawia, że ta pętla jest bardzo słabo tłumiona: ζ = 0,25. Ten konflikt jest powodem, dla którego stosuje się układy korekcyjne.
Odpowiedź: Kp = 0,4
Regulacja P, PI i PID: regulator C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s działa na uchyb. Wzmocnienie proporcjonalne przyspiesza układ i zmniejsza uchyb obiektu typu 0, ale nigdy go nie usuwa. Człon całkujący dodaje biegun w s = 0: typ układu rośnie o jeden, a skok jest śledzony bez uchybu. Człon różniczkujący zwiększa tłumienie. Aby dobrać nastawy, zapisz wielomian charakterystyczny układu zamkniętego i porównaj go z s² + 2ζωns + ωn². Wtedy %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, gdzie ωd = ωn√(1 − ζ²), oraz ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, pomnożone przez s(s + 4).
Człon całkujący sprawia, że pętla jest typu 1, więc skok jest śledzony bez uchybu ustalonego.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. Egzamin FE exam prowadzi NCEES, organizacja niezwiązana z ExamProblems, która go nie popiera.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical