Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 31 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 50 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 31 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 200 mm, gardziel 100 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 350 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 350 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 4 L/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 4 L/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 150 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 0,2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 150 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 44 m. Sprawność pompy wynosi 65%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 150 L/sH = 44 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 23 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 72%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 23 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 294,3 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN

Odpowiedź

F = 294,3 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 485,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Odpowiedź

F = 485,6 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 66,83 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,031/0,007854 = 3,947 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,031/0,004418 = 7,017 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 50 + ½·1000·(7,017² − 3,947²)/1000 = 50 + 16,83 = 66,83 kPa

Odpowiedź

p₁ = 66,83 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 74,7 L/s

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,35 = 43262 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·43262/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,607 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,007854·9,607 = 0,0747 m³/s = 74,7 L/s

Odpowiedź

Q = 74,7 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 19,04 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 19,04 m

Odpowiedź

h_f = 19,04 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 7,304 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 15 + 1,9)·0,408 = 7,304 m

Odpowiedź

H = 7,304 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 106 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·44 = 64,75 kW

Moc na wale

P_shaft = 64,75/0,65 = 99,61 kW

Moc elektryczna

P_el = 99,61/0,94 = 106 kW

Odpowiedź

P_el = 106 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 43,8 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0,3305 = 17,19 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 23 + 17,19 = 40,19 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·40,19/0,72 = 43,8 kW

Odpowiedź

P_shaft = 43,8 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics