Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 200 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 53 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 53 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm i wznosi się o 3 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 370 kPa, a prędkość 2,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,4 m/s przez poziomą rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,4 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 10 m. Sprawność pompy wynosi 60%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 60 L/sH = 10 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 15 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 198,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Odpowiedź

F = 198,7 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 213,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,25·5 = 213,7 kN

Odpowiedź

F = 213,7 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 220,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·53000/(1000·(1 − 0,3164))) = 12,45 m/s

v₁ = 7,004 m/s

Natężenie przepływu

Q = A₂·v₂ = 0,01767·12,45 = 0,2201 m³/s = 220,1 L/s

Odpowiedź

Q = 220,1 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 293,7 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−46,88) − 29,43 = 293,7 kPa

Odpowiedź

p₂ = 293,7 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 17,64 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,25)·1,4²/(2·9,81) = 1,798 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,798 = 17640 Pa = 17,64 kPa

Odpowiedź

Δp = 17,64 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 6,294 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Całkowita strata wysokości

h_f = 12·0,2611 = 3,134 m

h_m = 12,1·0,2611 = 3,16 m

Δz = h_f + h_m = 6,294 m

Odpowiedź

Δz = 6,294 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 10,9 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·10 = 5,886 kW

Moc na wale

P_shaft = 5,886/0,6 = 9,81 kW

Moc elektryczna

P_el = 9,81/0,9 = 10,9 kW

Odpowiedź

P_el = 10,9 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 29,38 m

Prędkość

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,1859 = 8,087 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 8,087 = 29,38 m

Odpowiedź

H = 29,38 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics