Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 300 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 40 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 40 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 200 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 50 mm, położony 2,5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

p_air = 200 kPa (nadciśnienie)h = 2,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 75 L/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 37 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 37 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 14 m, a jej wał pobiera 14,6 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 80 L/sH = 14 mP_shaft = 14,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 21 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 4 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 400 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 400 kPa

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 73,58 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Odpowiedź

F = 73,58 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 103,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·6 = 103,6 kN

Odpowiedź

F = 103,6 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 163,2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·40000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,238 m/s

v₁ = 2,309 m/s

Natężenie przepływu

Q = A₂·v₂ = 0,01767·9,238 = 0,1632 m³/s = 163,2 L/s

Odpowiedź

Q = 163,2 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 41,61 L/s

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(200000/1000 + 9,81·2,5)) = 21,19 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,001963·21,19 = 0,04161 m³/s = 41,61 L/s

Odpowiedź

Q = 41,61 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 6,391 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,387²/(2·9,81) = 0,2905 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,2)·2,387²/(2·9,81) = 6,391 m

Odpowiedź

h_f = 6,391 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 39,23 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

37 = (25 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·37/29,1) = 4,995 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,995·0,007854 = 0,03923 m³/s = 39,23 L/s

Odpowiedź

Q = 39,23 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 75,25 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·14 = 10,99 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 10,99/14,6 = 75,25%

Odpowiedź

η = 75,25%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 67,49 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0,408 = 5,712 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 40,77 + 5,712 = 67,49 m

Odpowiedź

H = 67,49 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics