Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 20 mm. Poziom wody utrzymuje się 3 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,64. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 3 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm i wznosi się o 9 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 300 kPa, a prędkość 3 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 300 kPav₁ = 3 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 4 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 4 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 150 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 150 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 56 m. Sprawność pompy wynosi 85%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 95%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 150 L/sH = 56 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 12 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 117,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Odpowiedź

F = 117,7 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 262,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,25·5 = 262,7 kN

Odpowiedź

F = 262,7 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 1,543 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0003142·7,672 = 0,001543 m³/s = 1,543 L/s

Odpowiedź

Q = 1,543 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 144,2 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−67,5) − 88,29 = 144,2 kPa

Odpowiedź

p₂ = 144,2 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 0,7932 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,004/0,007854 = 0,5093 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·0,5093²/(2·9,81) = 0,7932 m

Odpowiedź

h_f = 0,7932 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 3,2 m

Prędkość

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·200/0,15 = 26,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 26,67 + 3,7)·0,102 = 3,2 m

Odpowiedź

H = 3,2 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 102 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·56 = 82,4 kW

Moc na wale

P_shaft = 82,4/0,85 = 96,95 kW

Moc elektryczna

P_el = 96,95/0,95 = 102 kW

Odpowiedź

P_el = 102 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 38,39 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58,67 + 6)·0,408 = 26,39 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 12 + 26,39 = 38,39 m

Odpowiedź

H = 38,39 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics