Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 150 mm i średnicy gardzieli 75 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 19 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Wąż o średnicy wewnętrznej 50 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 2 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 2 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q.

d = 50 mmz_C = +2 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 2,8 m/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 2,8 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 21 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 21 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 28 m. Sprawność pompy wynosi 72%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 80 L/sH = 28 mη_pump = 72%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 500 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 350 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 98,1 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Odpowiedź

F = 98,1 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 3,8 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·4,5 = 145,7 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,8438/(3,75·4,5) = 3,8 m

Odpowiedź

y_cp = 3,8 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 28,13 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·19000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,367 m/s

v₁ = 1,592 m/s

Natężenie przepływu

Q = A₂·v₂ = 0,004418·6,367 = 0,02813 m³/s = 28,13 L/s

Odpowiedź

Q = 28,13 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 12,3 L/s

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,001963·6,264 = 0,0123 m³/s = 12,3 L/s

Odpowiedź

Q = 12,3 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 3,596 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,2)·2,8²/(2·9,81) = 3,596 m

Odpowiedź

h_f = 3,596 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 239,6 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

21 = (14,4 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/17,3) = 4,88 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,88·0,04909 = 0,2396 m³/s = 239,6 L/s

Odpowiedź

Q = 239,6 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 33,91 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·28 = 21,97 kW

Moc na wale

P_shaft = 21,97/0,72 = 30,52 kW

Moc elektryczna

P_el = 30,52/0,9 = 33,91 kW

Odpowiedź

P_el = 33,91 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 50,52 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 6)·0,1291 = 8,844 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 35,68 + 8,844 = 50,52 m

Odpowiedź

H = 50,52 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics