Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Mechanika płynów: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 320 kPa, a prędkość 2,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 320 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 75 mm i nadciśnienie 60 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 25 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 60 kPa (nadciśnienie)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 150 L/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 31 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 31 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa o sprawności 65% tłoczy 30 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 10 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.
Q = 30 L/sH = 10 mη = 65%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 3 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 250 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 3ptank = 250 kPa
H = m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 29,43 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN
Odpowiedź
F = 29,43 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 2,048 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·7,5 = 162,2 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 3,906/(1,75·7,5) = 2,048 m
Odpowiedź
ycp = 2,048 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 282 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(150/75)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−37,97) = 282 kPa
Odpowiedź
p2 = 282 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: H = 6,193 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Prędkość wylotowa
β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9877)) = 11,02 m/s
Wysokość strumienia
Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.
H = v2²/(2g) = 11,02²/(2·9,81) = 6,193 m
Odpowiedź
H = 6,193 m
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 3,366 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 2,122²/(2·9,81) = 0,2295 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,3)·2,122²/(2·9,81) = 3,366 m
Odpowiedź
hf = 3,366 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 243,6 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
31 = (12 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·31/24,7) = 4,962 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,962·0,04909 = 0,2436 m³/s = 243,6 L/s
Odpowiedź
Q = 243,6 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 4,528 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·10 = 2,943 kW
Moc na wale
Pshaft = Ph/η = 2,943/0,65 = 4,528 kW
Odpowiedź
Pshaft = 4,528 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 40,51 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,67 + 3)·0,408 = 8,025 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 25,48 + 8,025 = 40,51 m
Odpowiedź
H = 40,51 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics