Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Wąż o średnicy wewnętrznej 32 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 1 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 3 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ciśnienie bezwzględne p_C w punkcie C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101,3 kPa.

d = 32 mmz_C = +1 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 1,1 m/s przez rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 1,1 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 26 m, a jej wał pobiera 35,4 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 100 L/sH = 26 mP_shaft = 35,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 27 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 20 L/sΔz = 27 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 36,79 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Odpowiedź

F = 36,79 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 67,44 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

Odpowiedź

F = 67,44 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 196,7 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−3,308) = 196,7 kPa

Odpowiedź

p₂ = 196,7 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p_C = 62,06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Równanie Bernoulliego od powierzchni do C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,672²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Odpowiedź

p_C = 62,06 kPa

Jeśli to ciśnienie spadnie do prężności pary wodnej, lewar przestanie działać.

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 1,233 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,05)·1,1²/(2·9,81) = 1,233 m

Odpowiedź

h_f = 1,233 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 2,52 m

Prędkość

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Całkowita strata wysokości

h_f = 20·0,102 = 2,04 m

h_m = 4,7·0,102 = 0,4794 m

Δz = h_f + h_m = 2,52 m

Odpowiedź

Δz = 2,52 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 72,05 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·26 = 25,51 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 25,51/35,4 = 72,05%

Odpowiedź

η = 72,05%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 46,17 m

Prędkość

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3305 = 19,17 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 27 + 19,17 = 46,17 m

Odpowiedź

H = 46,17 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics