Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 20 mm. Poziom wody utrzymuje się 4 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,6. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 4 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 300 mm, gardziel 150 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 130 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 130 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 80 L/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 17 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 17 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 74 m, a jej wał pobiera 18,1 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 74 mP_shaft = 18,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 15 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 40 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 88,29 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Odpowiedź

F = 88,29 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 1,857 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·2,25 = 48,67 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,4219/(1,75·2,25) = 1,857 m

Odpowiedź

y_cp = 1,857 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 1,67 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,0003142·8,859 = 0,00167 m³/s = 1,67 L/s

Odpowiedź

Q = 1,67 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 102,4 L/s

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 150/300 = 0,5

v₂ = √(2·16069/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,855 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,01767·5,855 = 0,1024 m³/s = 102,4 L/s

Odpowiedź

Q = 102,4 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 4,874 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 4,874 m

Odpowiedź

h_f = 4,874 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 202 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

17 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/19,7) = 4,115 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,115·0,04909 = 0,202 m³/s = 202 L/s

Odpowiedź

Q = 202 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 60,16 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 10,89/18,1 = 60,16%

Odpowiedź

η = 60,16%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 12,4 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 6)·0,2611 = 10,27 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 15 + 10,27 = 25,27 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·25,27/0,8 = 12,4 kW

Odpowiedź

P_shaft = 12,4 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics